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TUM School of Natural Sciences |
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Poisson - Verteilung am Galtonschen Brett
Kurzbeschreibung
Das Galtonsche Brett wurde ersonnen zur Verifizierung des Gaußschen Fehlergesetzes. Dieses gibt die wahrscheinlichen Fehler eines Messergebnisses oder dgl. an. Sein Charakteristikum ist, dass die Fehler um so unwahrscheinlicher werden, je größer sie sind. Außerdem sind positive und negative Fehler, also Abweichungen nach der einen oder anderen Richtung, gleichwahrscheinlich. Das bedeutet Symmetrie um eine Nulllinie. Dem entspricht die Konstruktion des Galtonbretts das oben abgebildet ist. Auf einer leicht geneigten Platte sind 19 Stiftreihen untereinander angebracht. Der untere Teil der Platte ist in 22 schmale rechteckige Fächer eingeteilt. Das Ganze ist mit einer Scheibe bedeckt. Durch den Trichter werden 5mm Kugeln eingeworfen. Dabei soll mann so langsam vorgehen, dass sich die Kugeln auf ihrem Weg nicht gegenseitig beeinflussen. Wenn eine Kugel genau senkrecht einfällt, so sollte sie den ersten Stift zentral treffen und auf ihm in labilem Gleichgewicht ruhen bleiben. Das ist aber praktisch wegen der Ungenauigkeit, mit dem der senkrechte Einfall realisiert wird, nie der Fall. Demzufolge wird die Kugel seitlich und nach einer Reihe von Stößen an den verschiedenen Hindernisreihen schließlich in einem der Fächer ankommen. Fach lässt sich nicht vorherbestimmen. Wenn man aber den Versuch mit einer großen Anzahl von Kugeln ausführt, so wird sich zeigen, dass das mittlere Fach die weitaus meisten Kugeln enthält, während nach den Seiten hin die Zahl der Kugeln in den Fächern abnimmt. Man kann den Versuch beliebig oft wiederholen und wird stets die gleiche Verteilung der Kugeln auf die Fächer erhalten. Während also das Schicksal einer einzelnen Kugel nicht vorhergesagt werde Kann, ist das Verhalten einer genügend großen Zahl von Kugeln eindeutig. Das mittlere Fach, das die meisten Kugeln aufgenommen hat, entspricht kleine Ablenkungen; die Randfächer sind nur erreichbar durch mehrere größere Ablenkungen. Die geringere Zahl der Kugeln in diesen Fächern beweist, dass große Ablenkungen relativ selten sind. Die Treppenkurve, die von der Anzahl der Kugeln in den einzelnen Fächern gebildet wird, approximiert eine Gauß-Funktion. Die Approximation ist um so besser, je feiner die Struktur des G. B. ist, je schmäler also auch die einzelnen Fächer gemacht werden. Die Steilheit des seitlichen Abfalls hängt ab von dem Verhältnis des Kugeldurchmessers zu den Abständen der Stifte. Die Vorgänge und resultierende Verteilung in den Auffangkanälen nach dem Durchlauf von etwa 1000 Kugeln werden im Schatten oder mit der Videokamera gezeigt.
