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TUM School of Natural Sciences |
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Interferenz von Kreiswellen mehrerer punktförmiger Erreger – Das Huygenssche Prinzip
Kurzbeschreibung
Zur Funktionsweise der Wellenwanne siehe Versuch1661
Als Huygenssches Prinzip (nach Christiaan Huygens, 1629-1695) bezeichnet
man die Interpretation jedes Punktes einer Wellenfront als Ursprung einer
Elementarwelle, aus deren Superposition sich Aussehen und Lage der neuen
Wellenfront als deren Einhüllende ergibt; mit diesem Prinzip können
Reflexion, Beugung und Brechung erklärt werden.
In den folgenden Versuchen werden die Interferenzmuster unterschiedlich
vieler punktförmiger Erreger betrachtet um die Gesetzmäßigkeiten
nachzuvollziehen, denen diese Interferenz folgt; dabei werden die Vorgänge
exemplarisch erläutert am Beispiel der drei Hauptwellenbänder
nullter und erster Ordnung.
Skizze der Versuchsanordnung (Aufsicht)
Versuchsdurchführung / Beobachtung
Am Wellenerreger wird ein Kamm installiert auf den mehrere Tupfer äquidistant aufgesetzt werden; es werden Frequenz und Amplitude so eingestellt dass sich ein deutliches Muster abzeichnet. Rekapituliert man selbigen Versuch mit zwei Erregern („Interferenz von Kreiswellen zweier punktförmiger Erreger“) so erinnert man sich an nach außen wandernde Hauptwellenbänder mit deutlicher Ausprägung von sich abwechselnden Minima und Maxima; diese Wellenbänder waren jeweils durch eine einheitlich graue Hyperbel - die Orte destruktiver Interferenz – voneinander getrennt:
Betrachtet man nun die Überlagerung der Kreiswellen dreier Erreger so erkennt man, dass die drei Hauptwellenbänder, die bereits bei der Interferenz zweier Erreger aufgetreten sind, hier schmaler auftreten und durch jeweils ein weiteres Wellenband dazwischen ergänzt werden; es ergibt sich also ein Bild von fünf hyperbolisch nach außen wandernden Wellenbändern mit deutlich ausgeprägter Wellenstruktur, jeweils getrennt durch eine einheitlich graue Hyperbel:
Dies lässt sich sukzessive weiterführen: mit einem weiteren Erreger entstehen jeweils zwei zusätzliche Streifen zwischen den Hauptwellenbändern – man erkennt bei vier Erregern also sieben Bänder mit ausgeprägter Wellenstruktur:
Mit jedem zusätzlichen Erregern erhöht sich die Zahl der zusätzlich auftretenden Wellenbänder weiter, die Bänder und die sie trennenden einheitlich grauen Hyperbeln werden jedoch ebenfalls mit zunehmender Erregerzahl schmäler, was dazu führt, dass bei einer Vielzahl von Erregern – in der folgenden Abbildung angedeutet durch eine Superposition von zehn Elementarwellen – das Interferenzmuster insbesondere in der Nähe der Erreger immer mehr einer ebenen Welle gleicht:
Interferenz von zehn Elementarwellen; in der Nähe der Erreger bildet sich eine annähernd ebene Welle
Erklärung
Zunächst soll die Entstehung der drei Hauptwellenbänder dargelegt werden: Zur Erklärung der Entstehung dieser charakteristischen Wellenbänder ist es zweckmäßig, Orte zu betrachten, deren Abstand zu den Erregern groß ist gegenüber dem Abstand der Erreger zueinander; die folgende Graphik erklärt dann das Superpositionsschema zweier Kreiswellen an diesem Ort:
Für den Gangunterschied zwischen zwei sich überlagernden Elementarwellen
an einem bestimmten Ort gilt:
Δl = d sinα
Außerdem unterliegen die Orte konstruktiver Interferenz folgendem
Zusammenhang (vgl. „Interferenz von Kreiswellen“):
Δl = mλ (m=0,±1,±2,…. Interferenzordnung)
Bei den drei Wellenbändern, die bei der Interferenz zweier Kreiswellen
entstehen, handelt es sich um die nullte und die erste Interferenzordnung:
das mittige Hauptwellenband entspricht der nullten Interferenzordnung,
bei dem die sich überlagernden Wellen auch keinen Gangunterscheid
aufweisen. Die beiden anderen Hauptwellenbänder, zu jeder Seite eines,
bilden die Maxima erster Ordnung, für die also gelten muss:
Δl = λ
Daraus ergibt sich für den Winkel zwischen dem Wellenband nullter
und dem erster Ordnung der konstruktiven Interferenz ein Winkel von sinα = λ/2
und der Winkel zwischen dem Hauptwellenband nullter Ordnung und der ersten Ordnung destruktiver Interferenz, also dem
ersten Nebenminimum, ergibt sich aus einem Gangunterschied von
Δl = λ/2 zu
sinα = 1/2 · λ/d
Erweitert man die gesamte Anordnung nun um einen weiteren Erreger, so
ist klar, dass sich drei Sinuswellen, die an einem bestimmten Ort überlagern,
nicht bei einem Gangunterschied von Δl = λ/2 völlig auslöschen,
sondern bei Gangunterschieden von jeweils Δl = λ/3 zueinander.
Daraus ergeben sich dann bei Gangunterschieden von d sinα = 1/3
λ und d
sinα = 2/3 λ
zwei Nebenminima, die - anschaulich gesprochen – das zwischen den
Hauptwellenbändern neu entstandene Maximum einschließen.
Bei vier Erregern, und somit der Überlagerung von vier Elementarwellen,
existieren also jeweils drei Nebenminima, die zwei weitere Wellenbänder
zwischen den Hauptwellenbändern entstehen lassen. Setzt man diese
Überlegung sukzessive fort, so lässt sich daraus leicht der
Grenzfall ableiten, dass die Überlagerung unendlich vieler Elementarwellen
auch unendlich viele Nebenminima erzeugt, was ebenso die Entstehung unendlich
vieler charakteristisch strukturierter Wellenbänder impliziert, was
anschaulich nichts anderes bedeutet als die Entstehung einer ebenen Welle.
Mit diesen Voraussetzungen
lassen sich ebenfalls Reflexion und
Brechung durch das Huygenssche Prinzip
erklären:
Die Barriere, an der die einfallende
ebene Welle reflektiert oder gebrochen
wird, muss hier aufgefasst werden
als die Zusammensetzung unendlich
vieler
punktförmiger Tupfer, von denen von jedem beim Auftreffen der Welle
eine Elementarwelle ausgeht, die sich dann zu einer resultierenden ebenen
Welle überlagern. Die dabei auftretenden Winkel ergeben sich aus
dem zeitlich verschobenen Auftreffen der einfallenden Welle auf das reflektierende/brechende
Objekt, und im Falle der Brechung ebenfalls durch die unterschiedlichen
Brechungsindizes (siehe „Brechung von Wasserwellen“).
Reflexion nach dem Huygensschen Prinzip
Trifft eine Wellenfront auf eine refelektierende Welle so entsteht an der Auftreffstelle eine Elementarwelle
Eine Momentaufnahme später entsteht eine weitere Elementarwelle; die erste Elementarwelle hat sich bereits ausgebreitet
Die Überlagerung der unendlich vielen beim Auftreffen der Wellenfront entstehenden Elementarwellen überlagern sich zu einer Neuen
Brechung nach dem Huygensschen Prinzip
Folgender Link verweist auf eine Animation zur Veranschaulichung der Vorgänge bei Reflexion und Brechung von Wellen: http://www.walter-fendt.de/ph11d/huygens.htm
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