Konstante Beschleunigung bei Rotationsbewegung

Kurzbeschreibung

Lässt man Kugeln mit unterschiedlichen Radien und unterschiedlichen Massen eine schiefe Ebene (Zu Versuchszwecken ist eine Darda-Bahn am besten geeignet.)  herunterrollen und misst, am besten mittels zweier Lichtschranken, die Zeit, die sie für eine bestimmte Strecke brauchen, stellt man fest, dass alle Kugeln identische Rollzeiten haben. Dies ist im ersten Moment erstaunlich, da man annehmen könnte, die größere Kugel und damit die Schwerere erfährt eine größere Kraft und rollt deshalb schneller den Abhang herunter. Oder man könnte annehmen, dass die größere Kugel länger braucht um die Rollbewegung aufzunehmen und deshalb die kleine Kugel schneller ist. Beide Argumentationen sind zwar vorstellbar, aber falsch.

Physikalische Erklärung

Die einzige effektiv wirkende Kraft ist die Hangabtriebskraft, die von der Masse des rollenden Körpers abhängt.
Aber man muss bei einer Rollbewegung, außerdem das durch die Hangabtriebskraft entstehende Drehmoment T des herabrollenden Körpers berücksichtigen. Das Drehmoment T lässt sich wie folgt berechnen:
T→ = r→x F→ ,wobei in unserem Fall r den Radius und F die Hangabtriebskraft darstellen, also
T = mgr · sin α . Außerdem gilt: T→ = J · ω →· ,wobei ω· die Winkelbeschleunigung der Kugel und
J = ⁷/₅ mR² das Trägheitsmoment der Kugel ist. (Das Trägheitsmoment der Kugel wurde mithilfe des Steinerschen Satzes und dem Schwerpunktsträgheitsmoment berechnet.)
Durch Gleichsetzen der beiden Formeln für das Drehmoment erhält man dann durch leichte Umformungen eine Gleichung für die Winkelbeschleunigung:

die nun nicht mehr von der Masse der jeweiligen Kugel, aber immer noch von dessen Radius abhängt.
Betrachtet man nun aber die Beschleunigung der Kugel entlang der Ebene (translatorisch), so erhält man folgendes Ergebnis:

d.h. die Beschleunigung parallel zur Ebene ist unabhängig von Masse und Radius der herabrollenden    Kugel. Entscheidend an diesem Versuch ist die Tatsache, dass die zu untersuchenden Objekte die gleichen Trägheitsmomente bezüglich der Drehachse haben.
> Dieser Versuch funktioniert daher auch mit unterschiedlichen Vollzylindern oder unterschiedlichen Hohlzylindern. In der Rechnung muss nur das Trägheitsmoment der Kugel durch das jeweilige Trägheitsmoment des betrachteten Körpers ersetzt werden.
Der Vollzylinder-Versuch wird aufgrund der unhandlichen Ausmaße der Zylinder, welche die Messung erschweren, nur qualitativ an einer schiefen Ebene demonstriert.

Betriebsanweisungen: Elektrogeräte