Höhendifferenz und Geschwindigkeit rollender Kugeln

Kurzbeschreibung

Wie in oben stehenden Bild werden am Besten mittels einer so genannten Darda-Bahn drei unterschiedliche Rollbahnen aufgebaut. Dabei ist darauf zu achten, dass alle drei Bahnen auf der selben Höhe anfangen und ebenfalls auf der selben Höhe enden. Der Höhenunterschied zwischen Anfangs- und Endposition sollte zwischen 50 und 80 cm liegen. Anschließend wird mittels Lichtschranken die Geschwindigkeiten der rollenden Kugeln  gemessen und am PC durch Digitalanzeigen dargestellt. (Pasco). Besonders gute Messergebnisse erhält man mit Kugeln. Der Versuch ist jedoch auch (schönere Optik) mit Spielzeugautos durchführbar. Aufgrund der unterschiedlichen Radlagerungen der Fahrzeuge stimmen die Messwerte dann nur noch in einiger Näherung überein.

Beobachtung:

Lässt man alle drei Kugeln gleichzeitig losrollen, macht man folgende Feststellung.
Die Kugel auf der gelben Bahn ist die erste, die am Ziel ankommt, dicht gefolgt von der Kugel auf der roten Bahn. Mit einem etwas größeren Abstand erreicht auch die Kugel der blauen Bahn das Ziel. Die Geschwindigkeiten der Kugeln sind beim Durchlaufen der Lichtschranken jedoch identisch, obwohl sie für die gleiche Strecke doch sehr unterschiedliche Laufzeiten haben.

Physikalische Erklärung:

Zunächst einmal wollen wir auf die gleichen Endgeschwindigkeiten eingehen. Aufgrund der erhöhten Lage der Kugeln bei Beginn der Messung haben alle drei Kugeln die selbe, durch die Höhe festgelegte potentielle Energie. E_pot = mgh. Diese potentielle Energie wird während des Durchlaufens der Höhendifferenz auf das Endniveau bei Vernachlässigung der Reibungskräfte in kinetische Energie E_kin = ¹/₂ mv² und Rotationsenergie E_rot = ¹/₂ Jω²  = ¹/₅ mR²ω² = ¹/₅ mv² umgewandelt. Man erhält dadurch die Gleichung ⁷/₁₀ mv² = mgh und durch Umstellen die Formel für die Geschwindigkeit. ¹⁰/₇gh.  Hieraus sieht man, dass die Geschwindigkeit unabhängig von Masse und Radius der Kugel ist. Damit der erzielte Effekt bei den Beobachtern eintritt, ist es aber dennoch ratsam, drei gleiche Kugeln zu benutzen.

Kommen wir nun zu dem Phänomen, dass obwohl alle drei Kugeln am Ende dieselbe Geschwindigkeit haben, sie dennoch für die gleiche Wegstrecke unterschiedliche Laufzeiten haben. Entscheidend an diesem Experiment ist nun, dass die Kugeln eben erst am Ende der Strecke dieselbe Geschwindigkeit haben und zwar genau wenn alle drei die gleiche Höhendifferenz durchlaufen haben. Würde man entlang der ganzen Strecke die Geschwindigkeit jeder Kugel einzeln aufnehmen, würde man auf sehr unterschiedliche Zeit – Geschwindigkeitsdiagramme kommen. Die Kugel auf der gelben Bahn erhält nämlich bereits am Anfang der Strecke die Höchstgeschwindigkeit und durchläuft dann mit dieser den Rest der Strecke. Die blaue Kugel hingegen wird aufgrund der geringen Steigung am Anfang nur sehr langsam beschleunigt und durchläuft so einen Großteil der Strecke mit einer sehr geringen Geschwindigkeit, erst gegen Ende wird sie auf die Endgeschwindigkeit beschleunigt. Durch folgende Skizze soll eben dieser Sachverhalt noch einmal verdeutlicht werden.

Zu Bahn 1: Die grüne Kugel durchläuft die gesamte Strecke mit konstanter Geschwindigkeit v₁.
Zu Bahn 2: Zum Zeitpunkt t₀: Die gelbe Kugel rollt ebenfalls mit der konstanten Geschwindigkeit v₁.
Zum Zeitpunkt t₁: Aufgrund der Höhendifferenz, die die gelbe Kugel nach unten zurückgelegt hat, hat sie zusätzlich kinetische Energie aufgenommen und bewegt sich nunmehr mit der konstanten Geschwindigkeit
v₂ > v₁.
Zum Zeitpunkt t₂: Wegen der höheren Geschwindigkeit von der gelben Kugel, kann sie in der gleichen Zeit eine größere Strecke als die grüne Kugel zurücklegen (dunkelgrüne Pfeile).
Sie erhält einen Vorsprung gegenüber der grünen Kugel.
Zum Zeitpunkt t₃: Die gelbe Kugel musste eine Höhendifferenz nach oben überwinden und hat daher den Teil der kinetischen Energie wieder abgegeben, den sie vorher durch das Herunterrollen in die Grube aufgenommen hat. Sie hat jetzt wieder die konstante Geschwindigkeit v₁. Den Vorsprung ,den die gelbe Kugel in der Grube erhalten hat, behält sie bei.
Zum Zeitpunkt t₄: Die gelbe Kugel legt aufgrund gleicher Geschwindigkeiten die gleiche Strecke wie die grüne Kugel zurück(hellblaue Pfeile) und erreicht das Ziel.
Zum Zeitpunkt t₅: Erst jetzt erreicht auch die grüne Kugel das Ziel.

Betriebsanweisungen: Elektrogeräte

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